Pembuktian Pi Irasional

Ada beberapa cara /metode untuk membuktikan π irasional, kali ini cara yang saya pakai adalah cara dari lambert, yang membuktukan π irasional pada tahun 1761

Diambil sebarang bilangan bulat positif n dan , didefinisikan fungsi

 

Bisa kita lihat bahwa jika diambil n cukup besar maka akan menghasilkan nilai yang sangat kecil, boleh dibilang mendekati nol.

Dengan menggunakan teori binomial, fungsi tersebut bisa kita tulis menjadi

 

dengan adalah bilangan bulat.

Untuk maka

   (2)

asumsikan rasional . misalkan untuk a,b bilangan bulat positif untuk didefinisikan fungsi

(3)

Diketahui bahwa  f(0)=0 dan jika n<m dan 2n<m tapi jika n<m<2n, maka

 

diketahui bahwa jika x=0 maka f(x)=f(1-x) mempunyai nilai yang sama, maka G(0) dan G(1) hasilnya adalah bilangan bulat.

Dari persamaan (3) akan ditunjukkan:

                                                                                      

                                                                                      

Kemudian diintegralkan diperoleh:

                                     

Yang merupakan bilangan bulat positif.

Padahal menurut (2)

Untuk n cukup besar kita akan mendapatkan kontradiksi.

Terbukti